美与三个无理数

北京大学叶朗教授的《胸中之竹》中有一篇“柳宗元的三个美学命题”，其中有“美不自美，因人而彰”，前半句与庄子的“天地有大美而不言”相类似；后半句对审美活动甚为重要。它出自柳宗元《邕州柳中丞作马退出山茅亭记》一文，原文为：

　　夫美不自美，因人而彰。兰亭也，不遭右军，则清湍修竹，芜没于空山矣。

　　美学家的任务是彰美，而科学家的任务是探索自然现象和规律。要真正理解美，需要美学家和科学家联合探索。

　　科学与艺术都崇尚简洁，认为简洁是美的。但“美”又与不简洁的三个无理数（小数的位数无限多而且不循环）永远结成良缘。

　　这三个无理数与人类文明和精神生活有密切关系，而且都是比值。第一个是圆周率，它是圆周长度与直径的比值。古希腊毕达哥拉斯学派认为：一切立体图形最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆。它们共有的圆周率π，其值为3.14159…。中国人刘徽和祖冲之对此值作出过贡献。第二个无理数是黄金分割值，在美术领域有一个神圣的黄金分割律，其值为(-1)/2=0.6180339…≈0.618。第三个无理数是在音乐领域的十二等比分割值，其值为 =1.05946…。此值是中国明朝朱载首先发现的。这些无理数并不无理，它们为创造优美造型和美术、音乐作品奠定基础，它们是自然界美的本质的体现。

　　

　　圆周率

　　

　　圆周率π是三个无理数中最驰名的一个。人类对π的认识过程反映了数学和计算技术的进展情况；为求得它的精确近似值，人类走过漫长而曲折的道路。古希腊阿基米德写过一篇论文《圆的测定》，天文学家托勒密得出π=3.1416。中国的《周髀算经》中记载有“周三径一”的结论。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出π＝3.14，通常称为“徽率”。割圆术仅用内接正多边形就确定出圆周率上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。有人利用刘徽的割圆术求得π=3927/1250=3.1416。《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。”这一记录指出，祖冲之对圆周率有两大贡献。一是求得圆周率3.1415926＜π＜3.1415927 。其二是，得到π的两个近似分数即：约率为22/7；密率为355/113。他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山。

　　1973年，有人利用电子计算机就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。此后，不断有学者将π的小数位数不断更新。

　　有关圆周率的完美应用要算中国的天坛。中国从石器时代开始就有崇尚祭祀习俗，有设坛祭祀的传统。农业社会靠天吃饭，对天祭祀，祈求国泰民安，成为头等大事。中国素有“天圆地方”之说，圆成为天坛的主导设计思想。

　　

　　黄金分割值

　　

　　比例是重要的美学要素。黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现,后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。古希腊人曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。

　　偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。欧几里德（约公元前330～前257）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。黄金分割律被称为美的比例，黄金比与我们的生活息息相关。万物凡是符合黄金分割律的,总是最美的形体,凡能符合黄金分割律的环境,也就是人的肌体最舒适的环境。

　　2005年8月5日出版的《科学》杂志发表了中国科学院物理所李超荣、张晓娜和曹则贤研究员发现在高温条件下形成银为内核、外层为氧化硅的10微米大小的“液滴”，由于冷却而形成斐波纳契花样。这是人类第一次用无机材料生长成的斐氏花样。它们的生成是由于冷却时，在内外两种物质（银和氧化硅）中由于应力不均匀分布而形成花样。在扫描电镜下，在近似球面的大“液滴”上，这些纳米小颗粒以五边形和六边形规则地排列。真正吸引《科学》杂志关注的是接下来的工作。在略显扁平的盘状“液滴”结构上，他们发现那些纳米小颗粒形成了斐波纳契数花样。用顺时针和逆时针螺旋数来标记，他们观察到了（5，8），（8，13）和（13，21）三组不同的斐波纳契数花样。曹则贤研究员说：“它恰恰验证了汤姆普森的设想——这只是一个物理的问题和数学的问题。”来自不同领域的科学家们更多地是把目光盯在斐波契螺旋上。两位《科学》杂志的审稿人都惊叹于实验结果中“惊人的美”。其中一人说：“在我35年研究细小颗粒及材料科学，包括高温过程及热力学的生涯中，从未看到过如此迷人的结构。”

　　

　　十二等比分割律

　　

　　在音乐领域，也有神圣的比例，称为“十二等比分割律”，它是中国明朝王子朱载发现的。他提出半音阶的后项与前项的比值为2开12次方的值。它比西方的“十二平均律”约早五十至一百年。

　　古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯曾说过：“音乐是数字，而宇宙是音乐。” 经过2500多年，他的前半句话被证明是事实。

　　中国古代乐律为十二律，通常与十二月历放在一起，称为“历律”，表示两者都以十二为进位，循环前进，以至无穷。二十四史《晋书·列传》 中说：“十二律，黄帝所作也。……律之始造，以竹为管，取其自然圆虚也。”

　　古代最早乐律计算法是三分损益法，《管子》的作者相传是管仲（约公元前730～前645）和他的追随者，成书时间约在公元前645～前400年之间。可见该书记载的“三分损益法”比古希腊毕达哥拉斯（前582～前493）提出的五度律至少要早一百多年。

　　上述古十二律算法有两个缺点：一是在计算到最后一律时却不能循环复生(因各律之间含有大、小半音的差别)，造成十二律不能完美旋宫；二是在管乐器上音律不准。晋人荀勖（？～289年）进行研究，根据损益弦法，结合直笛吹口与各音孔间距离制作实践，发明了管口校正法，基本上解决了管乐器的音准问题。“三分损益法”的十二律不能完美地旋宫转调，千百年来困扰着律学家，直到明朝朱载发现第三个无理数 ，才得以彻底解决。

　　朱载（1536～1611）出生在怀庆府郑恭王府，是郑恭王朱厚烷的嫡子、明太祖朱元璋的九代孙。朱载14岁时，因其父上书当朝皇帝，受诬陷而入狱。朱载愤然离开王宫，在附近筑了一间简陋土屋，在那里独居数十年，从事研究。直到换了皇帝，他父亲冤情昭雪，复爵还邸，他才肯回到王府。其父去世后，他不愿袭爵，自称道人，继续研究，终其一生。死后葬于沁阳郊区九峰山。

　　朱载的研究成果很多，其中1584年完成的《律学新说》影响最大。他提出的乐律应该称为“十二等比分割律”。要了解此乐律，先得从“2开十二次方”的值说起。他把多部珠算算盘连接起来，成为横跨81档的特大算盘，并在其上进行2的开平方，再开平方，再开立方的计算（即2开十二次方），得出此值是1.05946。这是他发现的对音乐至关重要的第三个无理数。他认为任何一个倍频程均可分割成“十二个‘半音阶’”，任何一个半音阶与前一个半音阶频率的比值都是这个数；彻底解决了“三分损益法”的旋宫转调难题。这是科学史上最重要的发现之一。

　　【责任编辑】蒲晖