今年1月7日，美国密苏里中央大学数学家库珀通过一个名为“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”的项目，找到了目前已知的最大完美数2^74207280（2^74207281-1），即2的74207281次方-1后，再乘以2的74207280次方（注：^为计算机语言中的次幂符号）。该数是人类2500多年来发现的第49个完美数，它有44677235位数;如果用普通字号将它打印下来，其长度就可达200千米！读者朋友可以脑补一下……连澳大利亚知名数学家帕克都认为，这是一个巨大的科学成就。那么，这会不会又是一个类似经典电影《心灵捕手》的科学探索故事呢？完美数究竟有何魅力，引得众多数学家们前赴后继？
完美数究竟是什么鬼？
完美数（Perfect Number），又称“完全数”“完备数”或“完满数”，它的定义是除其本身以外全部因数之和等于本身的数，这个定义看起来拗口，不如我们举两个例子，最小的两个完美数就是6（其全部因数为1、2、3、6）和28（其全部因数为1、2、4、7、14、28），它们均是除其本身外各因数的和：6=1+2+3和28=1+2+4+7+14。这些数都有一些神奇的特性，因此科学家们赋予它们一个美好的名字—— 完美数。
早在公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯就发现了完美数的特性，他也是最早研究完美数的人，当时，他就已经知道6和28是完美数了。他曾经说过：“6象征着完美的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，有人认为古印度人和以前生活在西亚地区的希伯来人早就知道完美数的特征了，而古希腊人则将人们对完美数的认识提升到了一个更高的层次。
由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力，千百年来，一直吸引着众多数学家和无数业余数学爱好者对它进行探究。17世纪，法国数学家、哲学家笛卡儿曾经公开预言：“能找出的完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事。”经过了漫长的岁月，迄今为止，人类仅发现了49个完美数。这种数稀少而优美，所以被人们称为“数论宝库中的‘钻石’”。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中论述完美数时，曾提出：如果2P-1是素数，其中指数P也是素数，则2P-1（2P-1）是完美数。到了18世纪，瑞士数学家、物理学家欧拉从理论上证明了欧几里得的推论：每一个偶完美数，必定是由2P-1（2P-1）算出的。例如，6=2^（2-1）（2^2-1）=2×3;28=2^（3-1）（2^3-1）=4×7。由此可知，人们只要找到2P-1型素数，就可以发现完美数了。
发现梅森素数的竞逐
后来，找寻完美数要用到的2P-1型素数，被数学界冠以“梅森素数（Mersenne Prime）”的名号，它是以17世纪的法国数学家梅森命名的，因为他对这种特殊素数做了较为系统和深入的研究。有趣的是，近百年来，人们发现的“超大素数”，几乎都是梅森素数。
其实，梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要艰巨的计算和强大的运算量。1772年，欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1（即2147483647）是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时已知的最大素数。而第8个完美数——230（231-1）也由此而来，这也是当时人们发现的最大完美数。欧拉的顽强毅力和解题技巧，令人赞叹不已。法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
在“手算笔录”的年代，人们前赴后继、历尽艰辛，只找到12个梅森素数;也就是说，只有12个完美数被发现。而电子计算机的产生，大大加快了梅森素数的探究进程。例如，1952年，美国数学家鲁滨逊将“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数，不仅极富挑战性，而且对探究者来说，有一种巨大的自豪感，这也许就是无数数学英豪竞折腰的原因吧！1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生，更是在无比骄傲的同时，为了让全世界都分享这一重大成果，把所有从系里发出的信封，都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳，其狂热程度表现得淋漓尽致。随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比。而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲，竞相抢取先机。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布，他们找到第26个梅森素数223209-1时，有人告诉他们：就在两个星期前，美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样的结果。为此，他们潜心发奋，又花了一个半月的时间，使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数244497-1。这件事，成了当时不少主流报纸的头版新闻。后来，史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数，因而被人们誉为“素数大王”。
值得一提的是，人们在寻找梅森素数的同时，对它的分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此，研究梅森素数的分布规律，似乎比寻找新的梅森素数更为困难。
英、法、德、美等国的数学家都曾经给出过有关梅森素数分布的猜测，但他们的猜测都以近似表达式给出，而与实际情况的接近程度均差强人意。中国数学家、语言学家周海中经过多年的努力，于1992年2月首先给出了梅森素数分布的精确表达式。后来，这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主塞尔伯格认为，周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。
后来，分布式计算技术的出现，使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初，美国计算机专家沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的GIMPS项目，也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目。该项目主要利用大量普通计算机的闲置处理能力，来获得相当于超级计算机的运算能力。美国计算机专家库尔沃斯基于1997年建立了“素数网”，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。
为了激励人们寻找梅森素数，促进网格技术的发展，总部设在美国的电子前沿基金会（EFF）还于1999年3月向全世界宣布，为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立“协同计算奖”，该奖项向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元，后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元;超过1亿位数，15万美元;超过10亿位数，25万美元。但绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。而且，梅森素数的探究正吸引着越来越多普通数学爱好者的加入。
1999年6月，住在美国密歇根州的数学爱好者哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到了第一个超过100万位的梅森素数26972593-1，他成了第一个获得该奖励的人。该数是第38个梅森素数，也是20世纪发现的最后一个梅森素数。哈吉拉特瓦拉是一家公司的总裁，他在接受媒体采访时说：“两年前凭好奇心和求知欲参加了GIMPS项目，我的运气还算不错，只在计算机上进行了3个星期的持续运算，就发现了这个‘宝贝’。”
美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯于2008年首先发现超过1000万位的梅森素数——243112609-1，该数有12978189位;他也因此获得了EFF颁出的10万美元大奖。这一重大成就，被《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的;本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，反而受到了校方的表彰。
目前，全球已经有192个国家和地区、60多万人使用超过125万个中央处理器（CPU）参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数;也可以说，人们通过该项目已经发现15个完美数。其发现者来自美国、德国、英国、法国等地。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者索托伊在2009年于南京讲学时还说，希望也能有中国人加入梅森素数的发现大赛中。
梅森素数的应用前景
完美数的族群，反映了自然数中的某些基本规律，目前其实际用途还在不断探寻。不过，构成完美数的关键部分——梅森素数的价值，在当代已经越来越受到重视。
在计算机检测技术方面，梅森素数的寻找可以发现计算机芯片存在的问题。最近，德国一名GIMPS项目的参与者发现：当使用英特尔第六代核心处理器Intel Skylake执行Prime95应用来寻找梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞。其实，从20世纪90年代开始，美国克雷公司、苹果公司等就开始利用梅森素数来测试计算机的功能;其原理是通过CPU不断地进行梅森素数的运算，让CPU工作在大负荷下，并借此考验其系统的稳定性。此外，梅森素数在密码学方面有着潜在的应用：在密码设计中，需要使用较大的素数，而素数越大，密码被破译的可能性就越小。
最后值得一提的是，在被发现的49个完美数中，的确统统都是偶数。那么，是否存在奇数的完美数呢？另外，是否存在无穷多个完美数？这些问题，都是著名的数学难题，有待更多后继者的破解。
