当音乐拥抱数学(上)

你可能曾为巴赫钢琴曲的壮丽而震撼,为肖邦圆舞曲的清新优雅而沉醉,为柴可夫斯基乐章的悲壮与深情而感叹,也会为贝多芬交响乐的激情澎湃而心旌摇曳。
  你一定也曾惊叹过数学的缜密逻辑,那些巧妙的定理,简洁或复杂的公式,这其中都揭示着某种深刻的规律。数学如此抽象,有时候难免让人产生迷惑,但却也激发了人们一探究竟的乐趣。
  那么,充满激情与幻想的音乐和强调理性与严谨的数学之间,有什么关系呢?音乐中是否蕴含着数学知识,音乐的和谐柔美是否也隐藏着数学的奥秘呢?

毕达哥拉斯素描像。毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家和数学家,他认为“万物皆数”“数是万物的本质”,是“存在由之构成的原则”,而整个宇宙是数及其关系的和谐体系(绘图/朱宇彤)

  毕达哥拉斯的思考:
  五度相生律
  “do, re, mi……”随着这几个简单的音节,我们开始了人生的第一堂音乐课,数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音阶,读音为do、re、mi、fa、sol、la、si,休止以0表示。提到数学与音乐的关系,我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合,也许就是这7个基本音阶了。但你可曾想过,这些音阶是按照什么规律排列的呢?
  让我们回到2500年前,追随大名鼎鼎的古希腊数学家毕达哥拉斯的脚步,看看他是怎么解答的吧。
  据说,毕达哥拉斯曾在散步时路过一家铁匠铺,铁匠铺里传出的叮叮当当的敲击声吸引了他的注意,他走进去,发现这些美妙的声音原来是源于铁锤和铁砧的大小不一,故而发出的声音也不同,这同时也激发了他的思考。那么,这些音乐的和谐与什么有关呢?众所周知,毕达哥拉斯开创了自己的数学学派,该学派信奉数是万物的起源,因此宇宙和谐的基础应当是完美的数的比例,而音乐之所以给人以美的感受,很大程度上是因它有着一种和谐。在这种意识的启发下,毕达哥拉斯用不同的乐器做了许多的实验,进而发现声音与发声体体积有着一定的比例关系。而后,他又在琴弦上做了试验,发现只要按比例划分一根振动着的弦,就可以产生悦耳的音程,而它们彼此间是存在着比例关系的。
  那么,这个比例是什么呢,能不能通过数学的方法计算出来?毕达哥拉斯又进一步进行了实验。经过更多的实验和推算,毕达哥拉斯发现,当弦长比分别为2∶1、3∶2、4∶3时,发出的音律最为和谐。这就是我们后来所使用的“五度相生律”。
  那么,为何弦长符合这些比例时,我们会觉得音乐和谐悦耳呢?
  众所周知,声音是由振动产生的,但音的频率是按照等差数列排列的,同一根弦,其有效弦长与发音频率成反比关系。因此,当拨动一根弦时,其各等分点为界的弦也在各自振动,因而会产生一系列的音,我们将这些音称作第一泛音、第二泛音、第三泛音……而这些音之间,某些分界点产生的音连接起来会显得特别优美,我们可以说这些是泛音列中占优势的音程关系。而按照毕达哥拉斯的发现,这些纯音程的频率之比都是最简单的自然整数比。

毕达哥拉斯当年做测试时用的很可能就是竖琴。竖琴是一种大型拨弦乐器,可以认为它是一切古典式弦琴的起源。它所发出的音色空灵纯净,清澈动听,作为和声伴奏极具感染力,而独奏时又能演绎柔和优美的抒情片段 (绘图/朱宇彤)

  美的东西,总是简单而和谐。依据五度相生律产生的基础音阶构成的旋律,按照任意的方式组合,都有各自的美感,而将全部半音阶推算出来后,旋律的紧张度和动力性会得到增强,更能产生旋律之间动态的美感和张力。所以自然界需要和谐,音乐也需要和谐。
  中国先贤的探索:
  三分损益律
  德国著名数学家莱布尼茨曾说过:“音乐是一种无意识的数学演算……就它的基础来说,是数学的,就它的出现来说,是直觉的,音乐是心灵的算术练习,心灵在听音乐时计算着自己而不知。”可见,音乐和数学是有着内在联系的。不仅外国的先哲有如此发现,我国古代著名的思想家管仲(管子)也曾认识到数学与音乐的关系。管仲不仅是政治家、军事家和思想家,还有着很高的音乐修养,被后人称为我国“音律学之祖”。
  《管子·地员篇》里曾记载到:“凡将起五音,凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足以生商。有三分而复干其所,以是生羽。有三分去其乘,适足以是成角。”这篇文章中记载的宫、商、角、徵、羽就是我国古代的五音阶。
  那么,管仲又是如何确定宫、商、角、徵、羽这五音阶的呢?他首先将一个弦的长度定为基音,而后将它三等分,增加一份(益一)或去掉一份(损一),就可以定出另一个音律的长度,以此类推,直到获得比基音高出一倍或低一半的音,最后就可以得到五音阶。这种乐理又被后人称为“三分损益律”。三分损益律是我国古代音乐的重要成就,为我国古代的音乐发展史做出了很大的贡献。
  用这种方法产生的律,被称为“纯律”。纯律各音之间有最小的整数比关系,因此人们觉得纯律的音色听起来最为纯净。如今,纯律主要在无伴奏的合唱中使用,人们一般认为中国的古琴应用了纯律。从中我们也可以看出,只有当两音的音程关系符合泛音列中占优势的音程关系时,才会使人感到音乐的美妙。音乐能够反映出作为宇宙本质的数理关系,能够体现作为宇宙根本规律的和谐。五度相生律和三分损益律在生律法原则上是一致的,它们生律的结果也是相同的,由此可见,无论是东方还是西方,先哲们都从悠扬的乐声中认识到了数学的存在,他们发现的数学规律,也间接地促进了音乐的发展。

“乐器之王”钢琴是一种键盘乐器,发源于欧洲,至今已有三百多年的历史。钢琴曲大多运用和弦,弹奏出来的曲子悦耳且不单调(绘图/王江山)

  完美乐音的秘密:
  和弦
  我们都曾听过电子音,也曾听过钢琴曲,为何前者显得单调,而后者却显得那么悦耳呢?
  这就是和弦理论产生的差异。在音乐中,如果有两个以上的音同时发声就会达到和声效果,三个或三个以上的音按三度叠置就构成了和弦。和弦会使音乐更具生动性和感染力,比单一的音符要好听得多,钢琴曲大多运用和弦,这也就是钢琴曲比电子音更悦耳的秘密。
  那么,为何和弦会有这种神奇的效果呢?
  三个音按三度音程叠置成为各种和弦,其中三和弦是最常用的和声素材。在这我们还要了解一下音程。其含义是表示音调间不同的距离,如果音调按不同音程关系由低至高顺序排列,就构成不同“调式”的音阶。比如任意取一个音为调式主音,记为第一音,那么它的高八度音也是调式主音。音调每相差八度,可以在其间按等比等分成十二份,即十二个半音,每两个半音可以构成一个全音,一个全音加上一个半音被称为小三度,而两个全音则构成大三度,以此类推。许多曲目中都应用大三和弦,就是在一个大三度上叠置一个小三度,而小三和弦就是小三度再叠置一个大三度。
  让我们来看看标准音的音频频率图:
  C1:264Hz d1:297Hz
  e1:330Hz f1:352Hz
  g1:396Hz a1:440Hz
  b1:495Hz C2:528Hz
  然后,我们也可以计算一下音程的频率比:
  纯一度即c1:c1=264:264=1:1
  纯八度即c1:c2=264:528=1:2
  纯五度即c1:g1=264:396=2:3
  纯四度即c1:f1=264:352=3:4
  大三度即c1:e1=264:330=4:5
  小三度即a1:c2=440:528=5:6
  大六度即c1:a1=264:440=3:5
  小六度即e1:c2=330:528=5:6
  大二度即c1:d1=264:297=8:9
  从上面的列表中我们可以看出:音程关系越和谐,频率比的数字就越小,在实际生活中,人们也普遍认为大三和弦比小三和弦更加和谐动听。这是因为大三和弦的三个音的频率比为4∶5∶6,而小三和弦的三个频率比是10∶12∶15,显然前者的比值更接近小整数比。而当两个音或几个音的频率比更小时, 它们的谐波就有更多重合的地方,因此如果它们在一起发声,人们就会觉得越和谐。反过来,频率比越来越大,协和程度就越来越差,音乐听起来也不够优美和谐。所以,准确地使用数学原理,可以帮助我们找到音阶之间最佳的匹配方式,得到最动听的琴音。读者朋友们不妨试一试!

中国古琴。古琴是中国古老的弹拨乐器之一,有文字可考的历史就有四千余年,古琴的声音非常独特,它的乐声安静悠远。“静”可以说是琴音的最大特点,因此其琴音也被称为“太古之音”“天地之音”(绘图/朱宇彤)

  音乐是数学在灵魂中无意识的运算
  音乐是人类灵魂的酣畅释放,是感性思维中最唯美的表达;数学是以数字为基本符号的排列组合,是理性思维最深刻的表现。然而在更抽象的层次,二者之间存在着紧密的联系。正如莱布尼茨的名言所说:“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学,而数学则像最纯粹的音乐,乐音激荡,而数字翩跹,音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。就让我们沉醉其中,纵情感受它们的魅力吧!
当音乐拥抱数学(上)
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