与美共舞的几何图形

几何学是数学中的重要分支，不仅在科学中有着广泛的应用，而且对艺术也有重大的影响。历史上，几何图形一直是艺术创作中的重要元素，例如在一千多年前的伊斯兰教艺术中，我们就能发现许多复杂而精致的几何图案。到了近代，伴随几何学的不断发展，我们也能够欣赏到更多蕴含在几何学中的艺术之美。
　　分形几何：大自然的密码
　　19世纪末20世纪初，数学家们创造了一系列在数学上很奇怪、却又非常具有美感的几何形状。1891年，德国数学家希尔伯特发现了一条可以铺满整个空间的曲线，这条曲线被命名为希尔伯特曲线（Hilbert curve）；1904年，瑞典数学家科赫发现了以他名字命名的科赫曲线（Koch curve），又因曲线形似雪花被称为科赫雪花。
　　科赫曲线看似复杂，其实画法很有规律：从一个等边三角形出发，将每条边三等分，以每条边中间的一段为边向外作等边三角形，形成一个六角星形。再在六角星形的十二条边的中间一段上作更小的等边三角形，并不断重复这一程序。每一次操作后总长度增加三分之一，而经过无限次操作后就可以得到这个类似雪花的图形。需要注意的是，科赫曲线的总长度是无限的，但是其面积是有限的。
　　这些图形在被创造之初并没有引起主流数学界的关注，绝大多数数学家认为这些图形“怪异”、“非自然”，与数学研究没什么关系。直到1960年，波兰裔数学家曼德博开始研究这些图形背后的数学意义，才发现了巨大的价值。1975年，他创造了“分形”（fractal）这个词来指代这些自相似性的物体，也就是同样的形状和图样在以不同的规格重复。后人也因此称他为“分形学之父”。在曼德博看来，自然界充满了复杂而不规则的结构——如海岸线、山脉、云、冰川、河流系统、星系团等，甚至蔬菜西兰花，传统几何学对此无能为力，而分形学这种新的自然几何可以大显身手。此外，在人类生活的很多领域内，例如股票市场的涨跌中也可以发现分形几何的影子。
　　在我们的生活中，一个典型的分形例子是河流系统。我们都知道，河流会改道，例如历史上黄河大的改道就发生过5次。河流改道的原因是河流弯道内侧和外侧水流的速度有差异，这样就会对河流造成侵蚀，进而改变河流的平衡并影响河流未来移动的方向。在研究过程中，科学家发现这一过程可以用分形来描述，因此我们又获得了一个新的视角来观察河流。
　　几何方程：曲线之美
　　20世纪计算机的出现彻底改变了数学研究。计算机不仅成为辅助数学研究的有力工具，还能让更多人领略到数学的美。对外行人来说，方程本来只是字母和数字的组合，看起来犹如天书。但是使用计算机，我们可以画出很多方程对应的曲线，一目了然，还会有意外的惊喜，例如1989年数学家发现的两种蝴蝶曲线。
　　顾名思义，蝴蝶曲线（Butterfly curve）就是曲线形状如同蝴蝶。第一种蝴蝶曲线如图1所示，以方程1描述，是一条六次平面曲线。如果大家觉得这个太过简单，别着急，还有第二种。如图2所示，以方程2描述，这是一个极坐标方程。通过改变这个方程中的变量θ，可以得到不同形状与方向的蝴蝶曲线。如果再施以复杂的组合和变换，我们看到的就完全称得上是一幅艺术品了。
　　还有一种曲线不得不提，那就是心形曲线（Cardioid curve）。用极坐标表示，这条曲线可以写成方程3的形式。当一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心形曲线。
　　关于心形曲线还有一段动人的传说。法国数学家笛卡儿与瑞典公主克里斯蒂娜邂逅后，两人相爱，却遭到瑞典国王的反对。后来笛卡儿染病，临死前交给公主一封信，信里只有一个方程：r=a（1-cosθ），旁人不解，只有公主明白这是笛卡儿的“一颗心”。这段故事流传甚广，国内某著名品牌矿泉水的广告即取材于此。但实际上，这则故事是后人杜撰而成，唯一真实的地方就是两人确实相识。
　　从美好的故事中醒来，我们不必伤感，因为我们知道了原来数学还可以用来表达爱意。不管是蝴蝶曲线还是心形曲线，这些数学王国的精灵也可以像那些名画一样，装饰我们的客厅，装点我们的生活。
　　（责任编辑/李平）