勾股定理带来的小幸福

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生活中你会拥有许多小幸福,比如,在拐角突然撞到校园男神或女神,丢了饭卡却有人打电话来要还你,还有一种小幸福,是奇妙的勾股定理测算带来的。
  “直角三角形,夹着直角的两边平方相加,等于斜边平方。”这个古代文明中重要的几项数学发现之一,考卷上常见的概念之一,与我们的现实生活也有着重要关系。我们就来看看这两个故事——
  你看多远,我都知道
  在台北某栋大楼的瞭望台上,两个少男少女靠在窗边。女孩突然说:“风景好漂亮啊!从这里能看得好远,假如没有被周围的山挡住,一直往外望,能望到哪里去呢?”
  男孩灵机一动,往玻璃窗伸出手指,对窗呵了口气,在凝聚出来的雾上画了个半圆。圆上画两个小人。以小人为起点,他画了一条与大圆相切的切线。
  “这是地球,上面的两个人,是站在瞭望台上的我们。地球半径约为6400千米,瞭望台高度为0.25千米,利用勾股定理,可求出从我们所在位置画出去的切线长度x,即(0.25+6400) 2=64002+x2。”
  男孩利落地列出一元二次方程式,然后解释道,
  “(0.25+6400)2=64002+x2展开,左边是0.252+2×0.25×6400+64002,第一项跟后面两项比太小,可以忽略,第三项地球半径平方又可以跟右边第一项消掉。因此,可得x近似于,大约是56.6千米。换句话说,站在瞭望台的我们能看到56.6千米以外的景色。大概是宜兰、还有东北角外海好几千米的地方。”
  女孩露出崇拜的眼神看着男孩,问他怎么那么聪明,要他教她数学。男孩腼腆地笑笑,答应了她的请求。
  甜甜圈有多大?
  喜欢甜甜圈的小A常常苦恼该买哪家的甜甜圈。因为甜甜圈的中间开了一个洞,体积大小不仅跟外面的圆有关,跟中空的内圆也有关系。看起来比较小的,可以推托说:
  “我们的内圆小,是属于比较札实的类型。”
  如果中空的圆很大,也可以解释成:
  “我们的甜甜圈大,内圆难免也大一点嘛,数学不是有教过吗,等比例放大,分量绝对有保证。”
  该怎么简单测量甜甜圈体积,揭穿甜甜圈面包师傅的诡计,困扰了小A许久。直到某一天他从勾股定理中意外找到了答案。
  假设甜甜圈的水平剖面完全一样,体积等于任意水平剖面的面积乘上高度。高度很好算,重点在于水平剖面,也就是由上往下看的环形面积该如何计算。最直接的方法是把内圆与外圆的半径都量出来,再用圆面积=π×(半径)2来计算。
  其中R是外圆的半径,r是内圆的半径,我们简称为外径与内径。
  与其测量内径与外径,再算两者的平方相减,不如使用勾股定理更简单地算出甜甜圈的体积:从甜甜圈内圈的任意一点为基准,沿着内圈切线方向撕下一片。以撕下那片直边的长度为圆直径所算出的圆面积,就是甜甜圈的水平剖面面积。
  根据定义,切线与内圆半径垂直,而切线与外圆相接的两个接点,连回圆心的长度,刚好是外圆的半径。也就是说,内径、外径,以及这条撕下的直线的一半,恰好形成一个三角形,外径是斜边。利用勾股定理来计算撕下直线的一半长度,恰好是。以此值为半径,套入圆公式,可以得到对应的圆面积是π(R2-r2),跟之前直接量内外圆的半径有着一样的结果。有了勾股定理的帮忙,小A能迅速算出附近几家甜品店的甜甜圈大小,保证能买到最划算的甜甜圈。
  这两个例子虽然很简单,但却有着相当重要的象征意义,计算过程在现实生活中就相当于“成本”,许多公司都以降低成本为第一考量。事实上,只要善加利用数学,很多时候便能轻松地省下大量成本。勾股定理之所以重要且广为流传,因为它在测量上扮演了相当重要的角色。透过勾股定理,我们可以计算出一些原本无法得知的数据,或者,可以简化一些复杂的测量。在古代,城池大小、水井深度的测量,都有勾股定理的踪影。就算在现代日常生活中,勾股定理依然有许多测量的应用。
勾股定理带来的小幸福

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