“六根火柴”的多种可能解

马丁·加德纳的“六根火柴”题目
　　在开始这个游戏题目之前，马丁·加德纳先讲解了拓扑学上等价图形的基本概念，其大意为，假想火柴是一根橡皮筋，可以随意加工，包括转个弯，之后再放回桌面上，即经过一系列加工后，它由一个图形变成了另一个，若连通性没有变化，这两个图形就称之为拓扑学上的等价图形。比如三角形、圆形、方形，其大小、形状虽然不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形。
　　游戏题目
　　请问6根火柴在平面上到底可以排出多少个“拓扑学上的不等价图形”？要记住，每根火柴不可折断，也都等长；既不能弯又拉不长，不可重叠，只可以在两端相碰。
　　在这种规则下，6根火柴究竟能排出多少种不等价图形呢？马丁·加德纳给出的答案：19种。
　　发现原答案中没包括的变化
　　我是个爱钻牛角尖的人，很少直接接受一个现成的结论，总是喜欢自己验证或者修改它们。我仔细观察了这19个图形，找到了一些与它们不同的新的不等价图形，原来，“六根火柴”还有被隐藏的变化。进而我想：马丁·加德纳的枚举既然没能穷尽全部可能的图形，是否存在一种能够穷尽所有图形的方法？如何保证一种方法真的穷尽了所有的图形？
　　为了避开拓扑学、图论之类艰深的概念和术语，在这里先定义一些与本题目有关的词语（虽然不太规范，但是有助于说明和解释）：称每根火柴为边；火柴（头或尾）相碰的点称为结点；结点上连接的边的数目称为结点的阶次；从一个结点出发沿着边可以到达另一个结点，如果能够返回到出发的结点，则称这样的路由为环，如果环的内部存在像对角线一类的边，也就是说回到出发点的路由可以历经较少的边，称为多环，否则称为单环。如图：
　　为了能够穷尽全部图形，我们从考查结点总数入手。对于6根火柴来说，显然结点总数不会超过6，因此按照结点数多少分类，就不会多于6类。显然单环总数只能为0，1，2。对于多环，当火柴根数为6时，只存在1个多环，可以把这个多环分解成共享一条（比如红色）边的2个单环来计数。统计出各个类别中互不相同的图形数目，累加起来就是全部图形的数目。
　　此外，还要给出一个关于边的计数公式，对于M根火柴问题
　　：其中：M为火柴的根数，本题M=6，k表示结点总数，L表示单环总数。 表示对每个结点的阶次作累加，但这种累加显然包含了关于边的重复计数。①连接两个结点的边在两个结点的阶次统计中都被计算，因此多统计了K-1次；②对于单环出发结点与到达结点是同一个结点，显然增加了该结点关于边的计数，所以要减去L个单环的计数L。如此分析，说明这个公式是成立的。在完成以上的分析后我给出的解答如下：
　　因此这个问题的解答是：有28种不同的图形！这里不再列出马丁·加德纳遗漏的9种图形了（绿色）。上面给出的方法对M>6（或M<6）的情况同样也是适用的。对一个小游戏的解答，展现了一个由枚举、猜想到怀疑、考证的求索过程。提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。
　　（责任编辑/李静敏）