“六根火柴”的多种可能解

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马丁·加德纳的“六根火柴”题目
  在开始这个游戏题目之前,马丁·加德纳先讲解了拓扑学上等价图形的基本概念,其大意为,假想火柴是一根橡皮筋,可以随意加工,包括转个弯,之后再放回桌面上,即经过一系列加工后,它由一个图形变成了另一个,若连通性没有变化,这两个图形就称之为拓扑学上的等价图形。比如三角形、圆形、方形,其大小、形状虽然不同,但在拓扑变换下,它们都是等价图形。
  游戏题目
  请问6根火柴在平面上到底可以排出多少个“拓扑学上的不等价图形”?要记住,每根火柴不可折断,也都等长;既不能弯又拉不长,不可重叠,只可以在两端相碰。
  在这种规则下,6根火柴究竟能排出多少种不等价图形呢?马丁·加德纳给出的答案:19种。
  发现原答案中没包括的变化
  我是个爱钻牛角尖的人,很少直接接受一个现成的结论,总是喜欢自己验证或者修改它们。我仔细观察了这19个图形,找到了一些与它们不同的新的不等价图形,原来,“六根火柴”还有被隐藏的变化。进而我想:马丁·加德纳的枚举既然没能穷尽全部可能的图形,是否存在一种能够穷尽所有图形的方法?如何保证一种方法真的穷尽了所有的图形?
  为了避开拓扑学、图论之类艰深的概念和术语,在这里先定义一些与本题目有关的词语(虽然不太规范,但是有助于说明和解释):称每根火柴为边;火柴(头或尾)相碰的点称为结点;结点上连接的边的数目称为结点的阶次;从一个结点出发沿着边可以到达另一个结点,如果能够返回到出发的结点,则称这样的路由为环,如果环的内部存在像对角线一类的边,也就是说回到出发点的路由可以历经较少的边,称为多环,否则称为单环。如图:
  为了能够穷尽全部图形,我们从考查结点总数入手。对于6根火柴来说,显然结点总数不会超过6,因此按照结点数多少分类,就不会多于6类。显然单环总数只能为0,1,2。对于多环,当火柴根数为6时,只存在1个多环,可以把这个多环分解成共享一条(比如红色)边的2个单环来计数。统计出各个类别中互不相同的图形数目,累加起来就是全部图形的数目。
  此外,还要给出一个关于边的计数公式,对于M根火柴问题
  :其中:M为火柴的根数,本题M=6,k表示结点总数,L表示单环总数。 表示对每个结点的阶次作累加,但这种累加显然包含了关于边的重复计数。①连接两个结点的边在两个结点的阶次统计中都被计算,因此多统计了K-1次;②对于单环出发结点与到达结点是同一个结点,显然增加了该结点关于边的计数,所以要减去L个单环的计数L。如此分析,说明这个公式是成立的。在完成以上的分析后我给出的解答如下:
  因此这个问题的解答是:有28种不同的图形!这里不再列出马丁·加德纳遗漏的9种图形了(绿色)。上面给出的方法对M>6(或M<6)的情况同样也是适用的。对一个小游戏的解答,展现了一个由枚举、猜想到怀疑、考证的求索过程。提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为提出新的问题、新的可能性,从新的角度看旧问题,需要创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步。
  (责任编辑/李静敏)

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